0,9999... = 1

Spesso mi capita di fare questa domanda a studenti di diversi ordini e gradi per scoprire che l'argomento è per tutti una sconcertante novità.
Mi torna alla mente come la scoperta dei numeri irrazionali, tradizionalmente attribuita al pitagorico Ippaso di Metaponto, che scoprì i numeri irrazionali mentre tentava di rappresentare la radice quadrata di 2 come frazione . Tuttavia Pitagora credeva nell'assolutezza dei numeri interi, e non poteva accettare l'esistenza dei numeri irrazionali. Egli non era in grado di confutare la loro esistenza con la logica, ma le sue credenze non potevano tollerarne l'esistenza e, secondo una leggenda, per questo condannò Ippaso a morire annegato.
Ora spero di non essere condannato anch'io anche perché non ho scoperto nulla di originale e quindi non intendo vantare alcun titolo, ma mi sono deciso a scrivere queste poche righe per evitare di dover raccontare le stesse cose a tante persone diverse.
Veniano alla domanda: "Perché 0,9periodico è uguale ad !?" ma poteva essere 7,9999...=8 oppure 4,159999....=4,16 e così via.
Risposta "Perché sono la stessa cosa! due modi diversi di scrivere lo stesso numero."

Capisco però che a chi non ha studiato la matematica con attenzione alla costruzione dei reali, le affermazioni precedenti possono sembrare strane e propongo quindi alcune semplici verifiche e/o dimostrazioni in modo da accontare gli studenti più giovani e quelli meno giovani.
Cominciamo con la prima: